Bài tập về lũy thừa, lôgarit (cơ bản)

$pageIn
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN
VỀ BIẾN ĐỔI LŨY THỪA VÀ LÔGARIT

1. Biến đổi lũy thừa

Sử dụng các công thức của phép biến đổi lũy thừa.

Ví dụ 1: Biến đổi các biểu thức sau về dạng lũy thừa của một số thực.

$A=\dfrac{32\sqrt[3]{0,25}}{{{4}^{\frac{2}{7}}}\sqrt[5]{0,5}}$; $B=\dfrac{{{\left( 0,04 \right)}^{\frac{1}{5}}}.\sqrt{10}}{125\sqrt[4]{20}}$.

Hướng dẫn giải:

Với biểu thức A, ta biến đổi về cơ số 2.

Ta có $32={{2}^{5}};0,25=\dfrac{1}{4}={{2}^{-2}};0,5=\dfrac{1}{2}={{2}^{-1}};4={{2}^{2}}$.

Suy ra $A=\dfrac{{{2}^{5}}.{{\left( 0,25 \right)}^{\frac{1}{3}}}}{{{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\frac{2}{7}}}.{{\left( 0,5 \right)}^{\frac{1}{5}}}}=\dfrac{{{2}^{5}}.{{\left( {{2}^{-2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}{{{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\frac{2}{7}}}.{{\left( {{2}^{-1}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}=\dfrac{{{2}^{5}}{{.2}^{\left( -2 \right).\frac{1}{3}}}}{{{2}^{2.\frac{2}{7}}}{{.2}^{\left( -1 \right).\frac{1}{5}}}}$

$A=\dfrac{{{2}^{5+\left( -\frac{2}{3} \right)}}}{{{2}^{\frac{4}{7}+\left( -\frac{1}{5} \right)}}}=\dfrac{{{2}^{\frac{13}{3}}}}{{{2}^{\frac{13}{35}}}}={{2}^{\dfrac{13}{3}-\dfrac{13}{35}}}={{2}^{\dfrac{416}{105}}}$

Với biểu thức B, chú ý rằng $0,04=\dfrac{1}{25}={{5}^{-2}};\,125={{5}^{3}}$;

$\sqrt{10}={{10}^{\dfrac{1}{2}}}={{\left( 5.2 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}={{5}^{\dfrac{1}{2}}}{{.2}^{\dfrac{1}{2}}};\,\sqrt[4]{20}={{20}^{\dfrac{1}{4}}}={{\left( {{2}^{2}}.5 \right)}^{\frac{1}{4}}}={{2}^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{4}}}$.

Đáp số: $B={{5}^{-\dfrac{43}{20}}}$.

Ví dụ 2: Biến đổi các biểu thức sau về dạng lũy thừa của một số thực.

$A=\sqrt[3]{2\sqrt[5]{16}.\sqrt{2}}$; $B=\sqrt[3]{9\sqrt{3\sqrt[3]{81}.\sqrt{3}}}$

Hướng dẫn giải:

Với biểu thức A, ta có $\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{{{2}^{4}}}={{2}^{\dfrac{4}{5}}};\,\sqrt{2}={{2}^{\dfrac{1}{2}}}$.

Suy ra $2\sqrt[5]{16}.\sqrt{2}={{2.2}^{\dfrac{4}{5}}}{{.2}^{\dfrac{1}{2}}}={{2}^{1+\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{2}}}={{2}^{\dfrac{23}{10}}}$.

Từ đó, ta có $A=\sqrt[3]{2\sqrt[5]{16}.\sqrt{2}}=\sqrt[3]{{{2}^{\dfrac{23}{10}}}}={{\left( {{2}^{\dfrac{23}{10}}} \right)}^{\dfrac{1}{3}}}={{2}^{\dfrac{23}{10}.\dfrac{1}{3}}}={{2}^{\dfrac{23}{30}}}$.

Với biểu thức B, ta để ý: $\sqrt{3}={{3}^{\dfrac{1}{2}}};9={{3}^{2}};\,81={{3}^{4}}$.

Do đó $3\sqrt[3]{81}.\sqrt{3}=3.\sqrt[3]{{{3}^{4}}}{{.3}^{\dfrac{1}{2}}}={{3.3}^{\dfrac{4}{3}}}{{.3}^{\dfrac{1}{2}}}={{3}^{1+\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}}}={{3}^{\dfrac{17}{6}}}$.

Suy ra $\sqrt{3\sqrt[3]{81}.\sqrt{3}}=\sqrt{{{3}^{\dfrac{17}{6}}}}={{\left( {{3}^{\dfrac{17}{6}}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}={{3}^{\dfrac{17}{6}.\dfrac{1}{2}}}={{3}^{\dfrac{17}{12}}}$

$B=\sqrt[3]{9\sqrt{3\sqrt[3]{81}.\sqrt{3}}}=\sqrt[3]{{{3}^{2}}{{.3}^{\dfrac{17}{12}}}}=\sqrt[3]{{{3}^{2+\dfrac{17}{12}}}}=\sqrt[3]{{{3}^{\dfrac{41}{12}}}}={{\left( {{3}^{\dfrac{41}{12}}} \right)}^{\dfrac{1}{3}}}={{3}^{\dfrac{41}{12}.\dfrac{1}{3}}}={{3}^{\dfrac{41}{36}}}$.

$pageOut
$pageIn

2. So sánh các lũy thừa, lôgarit.

Một số lưu ý:

2.1 Để so sánh hai lũy thừa cùng cơ số ta dùng tính chất:

$a>1;x>y\Rightarrow {{a}^{x}}>{{a}^{y}}$ hoặc $0<a<1;x>y\Rightarrow {{a}^{x}}<{{a}^{y}}$.

Hoặc sử dụng tính biến thiên của hàm số mũ $y={{a}^{x}}$.

2.2 Để so sánh hai lũy thừa khác cơ số (cùng số mũ) ta dùng tính biến thiên của hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$.

Hàm số này tăng trên $\left( 0;+\infty  \right)$ khi $\alpha >0$ và giảm khi $\alpha <0$.

2.3 Để so sánh hai lôgarit cùng cơ số ta dùng tính biến thiên của hàm số lôgarit $y={{\log }_{a}}x$.

Hàm số này tăng trên $\left( 0;+\infty  \right)$ khi $a>1$ và giảm khi $0<a<1$.

2.4 Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ tăng trên khoảng D.

Khi đó, với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\in D$ và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ta có $y\left( {{x}_{1}} \right)<y\left( {{x}_{2}} \right)$.

Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ giảm trên khoảng D.

Khi đó, với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}\in D$ và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ta có $y\left( {{x}_{1}} \right)>y\left( {{x}_{2}} \right)$.

Ví dụ 3: So sánh các số sau:

a) ${{\left( \dfrac{3}{\pi } \right)}^{1,25}}$ và ${{\left( \dfrac{3}{\pi } \right)}^{1,24}}$;       b) ${{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{-0,12}}$ và ${{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{-0,13}}$;

c) ${{\left( 0,121 \right)}^{-\dfrac{\pi }{2}}}$ và ${{\left( 0,12 \right)}^{-\dfrac{\pi }{2}}}$;   d) ${{\left( 2012 \right)}^{-\dfrac{1}{2,1}}}$ và ${{\left( 2013 \right)}^{-\dfrac{1}{2,1}}}$;

e) ${{\log }_{\dfrac{\pi }{2}}}\left( 1,45 \right)$ và ${{\log }_{\dfrac{\pi }{2}}}\left( 1,44 \right)$;     f) ${{\log }_{\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}}}}\left( 1,45 \right)$ và ${{\log }_{\dfrac{9}{{{\pi }^{2}}}}}\left( 1,46 \right)$.

Hướng dẫn giải:

Câu a và câu b là so sánh hai lũy thừa cùng cơ số.

a) Cơ số $\dfrac{3}{\pi }<1$ và $1,25>1,24$, suy ra ${{\left( \dfrac{3}{\pi } \right)}^{1,25}}<{{\left( \dfrac{3}{\pi } \right)}^{1,24}}$.

b) Cơ số $\dfrac{\sqrt{5}}{2}>1$ và $-0,12>-0.13$ nên ${{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{-0,12}}>{{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{-0,13}}$.

Câu c và d là so sánh hai lũy thừa khác cơ số (cùng số mũ).

c) Xét hàm số $y={{x}^{-\dfrac{\pi }{2}}}$.

Vì số mũ $\alpha =-\dfrac{\pi }{2}<0$ nên hàm số giảm trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$.

Với ${{x}_{1}}=0,121;{{x}_{2}}=0,12$ ta có ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$.

Suy ra $y\left( {{x}_{1}} \right)<y\left( {{x}_{2}} \right)$ (vì hàm số giảm).

$\Rightarrow {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{-\dfrac{\pi }{2}}}<{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{-\dfrac{\pi }{2}}}\Rightarrow {{\left( 0,121 \right)}^{-\dfrac{\pi }{2}}}<{{\left( 0,12 \right)}^{-\dfrac{\pi }{2}}}$.

d) Làm tương tự câu c.

Câu e, f là so sánh hai lôgarit cùng cơ số.

e) Xét hàm số $y={{\log }_{\dfrac{\pi }{2}}}x$.

Cơ số $a=\dfrac{\pi }{2}>1$ nên hàm số tăng trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$.

Với ${{x}_{1}}=1,45;{{x}_{2}}=1,44$ ta có ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$.

Suy ra $y\left( {{x}_{1}} \right)>y\left( {{x}_{2}} \right)$ (vì hàm số tăng).

$\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{\pi }{2}}}{{x}_{1}}>{{\log }_{\dfrac{\pi }{2}}}{{x}_{2}}\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{\pi }{2}}}\left( 1,45 \right)>{{\log }_{\dfrac{\pi }{2}}}\left( 1,44 \right)$

f) Làm tương tự câu e.

$pageOut