Tính chẵn, lẻ của hàm số

Các bcước để xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f(x)$ trên tập xác định của nó.
  B1: Tìm tập xác định : $D$.
* Kiểm tra xem với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ hay không, nếu không thỏa thì kết luận hàm số đã cho không chẵn, không lẻ trên $D$.
* Nếu thỏa mãn thì chuyển sang bước 2:
  B2: Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$.
* Nếu $f(-x) = f(x)$ thì kết luận hàm số $y=f(x)$ là hàm số chẵn trên $D$.
* Nếu $f(-x) \ne f(x)$ thì chuyển sang bước 3.
  B3: So sánh $f(-x)$ với $-f(x)$.
* Nếu $f(-x) = - f(x)$ thì kết luận hàm số $y=f(x)$ là hàm số lẻ trên $D$.
* Nếu $f(-x) \ne -f(x)$ thì kết luận hàm số không chẵn, không lẻ trên $D$.

  Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \sqrt{1-x^2}$.

Giải:

B1: Điều kiện để hàm số có nghĩa: $1-x^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 1$ $\Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = {[-1; 1]}$.
Với mọi $x \in {[-1; 1]}$, ta có $-x \in {[-1; 1]}$. (Tập ${[-1; 1]}$ là tập đối xứng)
 B2: Ta có $y(-x) = \sqrt{1- (-x)^2} = \sqrt{1-x^2} = y(x)$.
 B3: Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên đoạn ${[-1; 1]}$.

  Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $y = x^3+x^2$.

Giải:

B1: Tập xác định: $D= \mathbb{R}$. Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $-x \in \mathbb{R}$.
 B2: Ta có: $y(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 = -x^3+x^2$.
So sánh ta thấy $y(-x) \ne y(x)$ nên hàm số không phải là hàm số chẵn.
 B3: Mặt khác $-y(x) = -(x^3+x^2) = -x^3 - x^2$.
So sánh ta cũng có $y(-x) \ne -y(x)$ nên hàm số đã cho không phải hàm số lẻ.
 B4: Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ trên $\mathbb{R}$

  Bài tập tự rèn luyện: